La primera aproximación al rendimiento de un cohete, se suele calcular en
delta-v, o m/s de aceleración acumulada. Es decir, por ejemplo, que para alcanzar órbita baja abrá que ganar unos 9.000m/s a 10.000m/s. Para pasar de órbita baja a órbita geosteacionara, harían falta unos 4.000m/s más. Fijense que no importa en qué dirección, es para hacer una primera aproximación.
Para hacerlo bien, tendrías que calcular por cada fracción de segundo el impulso total, el peso, pérdidas por fricción del aire (por eso los cohetes suelen ser finitos y largos), por la gravedad (mientras vas para arriba, la gravedad te "tira" para abajo), máximos niveles de presión del aire por la velocidad para que no se aplaste el cohete contra el aire, pasaje transónico, variaciones en la eficiencia del motor por presión atmosférica, etc. Pero con decir que con 9.500m/s de aceleración deberíamos poder poner algo en órbita, sirva para un "va o no va".
La
Ecuación del Cohete de Tsiolkovski, nos dice que:
delta-v = isp x G x LN(m0/m1)
delta-v: m/s generados
isp: impulso específico medido en segundos. Esto quiere decir, por cada unidad de combustible (kg, por ejemplo), cuántos segundos puedo mantener un empuje de esa fuerza (kgf).
G: la gravedad en la tierra, 9.8m/s/s
m0: La masa total del cohete.
m1: La masa al final del impulso.
Hay varias cosas que van a ver acá. En primer lugar, estamos asumiendo una sola etapa. Si hay más etapas, se puede analizar cada fase como un cohete de una etapa y sumar los resultados. Es decir, la primera fase m0 sería el peso de todo el cohete y su carga, y el m1 sería el peso de todo el cohete menos el combustible gastado en la primera etapa al momento de apagarlo. En la segunda fase, el m0 sería el peso total del cohete menos la primera etapa completa, y m1 el peso de todo el cohete menos la primer etapa completa y el combustible de la segunda etapa. Y así sumamos todos.
En segundo lugar, las dos variables fundamentales del rendimiento son la eficiencia del combustible/motor (isp) y cuánto de la masa total del cohete es combustible (m0/m1).
Un detalle importante de cómo funciona un motor cohete, es que el tamaño de la tobera óptimo es dependiente de la presión atmosférica. Cuánto menos presión hay, más grande conviene que sea la tobera. El otro dato es que a menor presión atmosférica, mejor rendimiento (isp) tiene un cohete. Por eso se suele especificar el isp en vacío y a nivel del mar.
Para ponerlo en perspectiva, tratemos de generar los números de de yarara en un ejercicio.
Vamos a sumir que la primera etapa son cuatro módulos de 3889kg cada uno, y que el 90% es combustible. La segunda etapa es un módulo de esos. La tercer etapa se parece más al Gradicom II, Es un módulo de unos 500kg, nuevamente con un 90% de combustible. La cuarta etapa, es un módulo igual, pero con 100kg extra de computadora y cofria para la carga, que es de 50kg. Además asumamos que con 9.500m/s de delta-v logramos ponerlo en órbita.
Etapa: 1
Peso Seco: 1.556kg
Combustible: 14.000kg
Peso Total: 15.556kg
isp: 225s
Delta-v: 2.511m/s
Etapa: 2
Peso Seco: 389kg
Combustible: 3.500kg
Peso Total: 3.889kg
isp: 235s (se enciende más alto que la etapa 1)
Delta-v: 2.732m/s
Etapa: 3
Peso Seco: 50kg
Combustible: 450kg
Peso Total: 500kg
isp: 260s (tobera optimizada para vacío)
Delta-v: 1.265m/s
Etapa: 4
Peso Seco: 150kg
Combustible: 450kg
Peso Total: 600kg
isp: 260s
Delta-v: 3.003m/s
Etapa: Carga
Peso Seco: 50kg
Combustible: 0kg
Peso Total: 50kg
Delta-v: 0m/s
Veamos la primera fáse:
isp: 225s
m0: (15.556kg+3.889kg+500kg+600kg+50kg) = 20.594kg
m1: (1.556kg+3.889kg+500kg+600kg+50kg) = 6.594kg (aquí sacamos los 14.000kg de combustible)
=> 225s x 9.8m/s/s x LN (20.594kg/6.594kg) = 2.511m/s
La segunda fase sería dejando de lado toda la primera etapa porque la separamos y descartamos:
isp: 235s
m0: (3.889kg+500kg+600kg+50kg) = 5.039kg
m1: (389kg+500kg+600kg+50kg) = 1.539kg
=> 235s x 9.8m/s/s x LN (5.039kg/1.539kg) = 2.732m/s
El resto se las pueden imaginar. Si sumamos todos los delta-v, daría unos 9.511m/s. El peso total que me dio fue de 20.6tn, y colocamos unos 50kg en órbita baja. Quiero aclarar que esto no pasa de ser un mero ejersicio mental y que hay milones de otras variables para saber las cosas posta. Por ejemplo, los porcentajes de masa y combustible son bastante al voleo. Los solidos del Space Shuttle tienen solo 85% de combustible, pero 242s de impulso al nivel del mar. El ATK Castor IVB tiene 87% y 266s (vacío). El GEM 40VN tiene 91% y 274s (vacío). Es decir, asumí que se tenía una mejor relación de peso potencia, pero peor rendimiento de motor. Además, generalemnte, la relación de peso óptima entre una etapa y la siguiente suele ser entre cuatro y seis a uno. Acá para ahorrar, hice que la tercera y cuarta sean iguales. Lo cuál no es óptimo, pero es más barato.
El tema de los cohetes sólidos, es que cuanto uno más los alarga, mayor presión tienene. Y cuanto más los ensancha, más dura el impulso. Si hacés una versión más corta de la tercer etapa para la cuarta, va a tener menor presión pero el mismo ancho de la pared, con lo que la relación de peso y combustible empeora. Si la hacés más ancha, tenés que desarrollar una nueva pared, y encima no te queda muy aerodinámica que digamos.
